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动问题。牛顿还指出了分析波的运动的方法，并探讨了物体在各种具有阻力的媒介中运动的方式。书的最后一部分亦即第三篇，可谓是全书的顶峰，在这里，他揭示了受万有引力、以及一种广义力的作用（其中一个特别的现象就是众所周知的地球的重量）制约的牛顿的宇宙体系。牛顿在这部分讨论了行星及其卫星的轨道的长度，彗星的运动和运动轨道，以及海洋中潮汐现象的产生等。
不妨考虑一下月球运动明显的不规则问题，《原理》对这个问题的探讨是该书的思想具有新水平的一个实例。在过去的一千五百年间，天文学家们在处理月球运动问题时，总是在构造几何图式，而不考虑原因。而现在，牛顿指出，摄动现象是“月行差”的主要根源，而这种摄动则是太阳引力和地球引力对月球的作用的主要结果。随着1687年《原理》的出版，人们就有可能从第一原理或第一原因开始，通过对结果的研究来处理这一问题。正如《原理》第二版的评论者们注意到的那样，这是一种全新的处理这类问题的方法。
也许，在所有这些成就中，最伟大的就是对潮汐的解释，即潮汐是太阳和月亮的引力对海洋的吸引作用导致的。“海洋中的潮涨潮落”，牛顿断言（bk．3，prop．24），“源于太阳和月亮的作用。”他分析了岁差和月球对地球假定的赤道鼓起区不平衡的吸引作用，以此为基础，他预言，地球的形状呈扇圆形；从这里我们可以看出牛顿所取得的成就的重要意义。
从《原理》所表现出的致力于惯性物理学的研究这一点，一些分析家们可能会看出此书的伟大所在；对于牛顿来讲，惯性是质量的一种特性。牛顿是第一位明确区分质量与重量的作者，而且他进一步认识到，物体的质量具有两种各自独立彼此不同的方面。质量是物体阻止被加速或阻止使其运动状态或静止状态发生变化的一种量度；这就是它的惯性。（牛顿有时使用“惯性力”或“vis inertiae”这样的术语—一这种类型的力有别于那种“活动的’功或能产生加速作用的力。）不过，物体的质量同时也可以作为对给定的引力场的一种反应的量度。那么，在物体对加速作用的（惯性的）阻力与其对某一引力场的（引力的）反应之间为什么又会有着某种联系呢？这在经典物理学中是找不到答案的。牛顿独具慧眼，他认识到，对这种关系的了解必须以实验为依据，所以，他着手进行实验以证明惯性与重力之间的这种恒定的关系。然而，只有在爱因斯坦的相对论中才能看到“惯性”质量与“引力”质量等价的逻辑必然性。爱因斯坦极为佩服牛顿，因为牛顿对这个问题有了如此深刻的见识，而且认识到了，他解释这种等价关系的理由只能以实验为依据。
牛顿《原理》中的数学的本质常常被人误解。如果只是泛泛地一页一项翻着，那就会给人一种印象，即牛顿所使用的数学是几何学尤其是古希腊的几何学。其风格似乎是欧几里德式或阿波罗尼奥斯式的。然而，更仔细地考虑一下就会发现，牛顿是在用微积分阐述问题，他运用几何学方法根据不同的比率和比例来陈述各种关系，并且同时，把“极限”看作是一种等于零的（或是初始的）基本量。因此，尽管牛顿没有详述他以后系统地运用的微积分（或“流数”）的规则系统，但他的确大量地运用了极限方法，这显然等价于使用了微积分，或者说，所使用的极限方法可以很容易地转换成牛顿算法或莱布尼兹算法的符号体系。马奎斯·德·洛皮塔尔认识到了《原理》的这一方面，他注意到（正如牛顿得意地提到的那样），这部书中的数学几乎全是微积分。对于任何一位细心的读者来讲，在该书第一编第一节对极限理论的阐述中，在第二编第二节明确的流数（牛顿用来表示微分的术语）理论中，这一点表现得更为明显。此外，《原理》之著名还因为，它最早使用了一些其他的数学方法，例如，无穷级数的广泛应用。
牛顿的风格
在我看来，从我所谓的“牛顿的风格”中，可以发现牛顿科学革命的本质。从牛顿在《原理》中对开普勒诸定律的讨论，就可以很容易地看到这一点。牛顿的讨论，始于一种纯数学的结构或想象的系统——它并不只是一个简化了的自然事件，而是一种在实在的世界中根本不存在的纯属虚构的系统。在这里，“实在的”这个词所指的，只是由实验和观察揭示出来的外在世界。在这种系统中，单一的质点围绕着一个力心运动。牛顿用数学方法指出（bk．1，prop．1），只要在这一结构或系统中能有一种来自沿轨道运行的质点或粒子的力恒久地指向不动的力心，那么开普勒的面积定律（即他的第二定律）就可成立。他接下来证明其逆命题，即如果面积定律成立，那么就会有一种向心力或指向中心的力存在。因此，向心力的存在被证明，既是开普勒面积定律成立的必要条件又是其充分条件。随后牛顿指出，如果运动轨道呈椭圆形，那么，向心力必然与距中心的距离的平方成反比。最后他证明，如果在此种力的条件下存在着几个沿轨道运行的质点，它们彼此没有相互作用——或者（结果相同）如果把任一给定质点的运动与其在距中心的某一不同距离上的运动相比较——那么，开普勒第三定律或和谐定律就可成立。顺便提一句，我们也许注意到，牛顿在这里首次指明了开普勒第三条定律中每一条的动力学意义。牛顿的活动在很大程度上构成了纯数学的第一个阶段。
在第二个阶段，牛顿把他的精神构造物与实在的世界进行了比较。当然他立刻发现，在实在的世界中（例如，在我们的太阳系中），沿轨道运行的物体，并不是围绕着“数学的”力心运动，而是围绕着别的实在物体运动。月球围绕着地球运动而地球和其他行星围绕着太阳运动。此外，为了使其精神构造物或想象系统能与实在的世界更为谐调一致，牛顿改进了这一系统，使其质点数增加到两个。其中一个质点位于中心，并且吸引着另一个在轨道上运动的质点，它不断地把后者从其所在的另一条直线惯性运动的轨道上拉开。但是，按照任一作用都有一个大小相等方向相反的反作用这一原理（牛顿第三运动定律），就会得出这样的推论：如果位于中心的物体吸引着沿轨道运行的物体，那么，在轨道上运行的物体也必定吸引着位于中心的物体。这样，这种精神构造物扩展到有两个相互作用的物体的系统了。牛顿继续指出，在这类条件下，情况不再是在轨道上运行的物体沿着一个纯椭圆形的轨道围绕位于焦点的中心物体运动了。相反，他发现，这二者都是沿椭圆形轨道围绕着它们共同的引力中心运动。
这种双物体系统构成了一个得到了改进的阶段，在此阶段，牛顿又一次用数学方法阐述了他的（现已修正了的）精神构造物。他随后把这个改进了的系统与外在的世界进行了比较，这就是改进了的第二阶段。当然，他发现，这个系统还是与我们周围的实在世界不相符的。例如，在我们的太阳系中，围绕太阳运动的行星并非只有一个，而是有好几个。这样，为了使他的精神构造物更进一步符合外在的世界系统，牛顿又继续开始了另一个阶段的工作。他在系统中引入了不止一个而是两个或更多的质点，它们在围绕中心质点的轨道上运行。这样，运用牛顿的第三定律，又一次得出以下推论：沿轨道运行的每一个质点，既受到中心物体的吸引，也对它有着吸引作用。换句话说结论就是，沿轨道运行的每一个质点，既是一个可被吸引的物体，也是一个具有吸引力的中心。在这些沿轨道运行的物体中，任何一个物体都会对其他的每一个发生作用，同时也会受到它们各自作用的影响。这个系统包含了这样一些物体：它们彼此以摄动的方式相互作用，这些摄动导致了与开普勒定律的一种细微的偏离。于是，牛顿继续努力，以图在我们的太阳系中找出与开普勒定律相差的数量测度。
在数学结构和对实在世界的比拟之间、以及第一阶段和第二阶段之间的这种对位式的变换中，牛顿不仅从单一物体系统发展到了多物体系统，而且发展到了沿轨道运行且带有卫星的多物体系统，例如，地球的卫星是月球，土星和木星也都有各自的卫星。到此为止他一直讨论的都是质点，而不是有形的物体，因为他还没有开始考虑大小和形状，不过最终，他把讨论的层次从质点转到了具有一定尺寸和外形的物理实体之上。
我所描述的过程，并非只是20世纪人们（对牛顿在《原理》中提出问题的方式）的一种事后分析。它与有文献为证的牛顿思想的各个发展阶段是相符的。1684年秋，牛顿写了一本小册子（《论运动》），在其中，他介绍了他研究开普勒定律以及有关这个问题其他方面的一些成果。他在书中指出，向心力是面积定律成立的必要充分条件，椭圆形轨道则暗示着，这种力与距离的平方成反比，这与他后来在《原理》中所作的阐述十分相似。但是那时尚未认识到，他的证明仅仅适用于单一物体系统的精神构造物，所以他骄傲地写道：“附注：因此，沿椭圆形轨道运行的诸行星都有一个位于太阳中心的焦点，而且以以行星间太阳的距离为半径扫过的面积，是与时间成正比的，这完全像开普勒假设的那样。”不久牛顿就认识到，实际上，行星不可能沿单纯的开普勒椭圆轨道运动。他看出，他的结果只适用于人工构造的单一物体系统，在这个系统中，地球被简化为一个质点，而太阳被简化成一个固定的力心。
1684年12月，牛顿完成了《论运动》的修订稿，在这里，他在一个相互作用的多�