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内的各类系统。
网络启发整个科学界诞生了一种用来评估一些最复杂的社会问题的新视角。理解网络如何发展和进化，生存或衰亡，可以帮助防止电子邮件崩溃，提高移动电话覆盖率，甚至为治疗癌症提供线索。探索控制网络的规律可以为如何保护，或者说，处理包括电网、生态系统乃至网站和恐怖组织的问题提供关键线索。专攻网络数学的物理学家们已经渗透到包括计算机系统、国际贸易、蛋白质化学、航班路线和疾病传播等学科的研究中。
然而用数学来研究网络并不是全新的尝试。事实上网络数学至少可以追溯到18世纪，瑞士数学家莱昂哈德·欧拉对东普鲁士七桥问题的分析智慧地开启了这一领域。在20世纪中叶，鲍尔·爱迪斯和阿尔弗雷德·瑞尼发展了用来描述网络的最抽象的表示法——在纸上用线连接基本的点。这些点被称为节点（或者有时叫顶点）；这些线正式的叫法是边线，但更一般的叫法是连线。这种点和边的构图在技术上被称作图，所以传统网络数学被称作图论。
一幅图里的点和边几乎可以代表现实生活中的任何事物。节点可能是各种各样的物体或实体，例如人、公司、计算机，或者国家；连线可以是机器间的电线、联系人们的友谊、联系电影演员的共同出镜经历，或者其他任何共同的性质或经历。当然，人们属于很多不同的网络，例如家庭网络、朋友网络、同事网络。共享投资、拥有共同政治观点或者共同性伴侣的人们都会构成网络。
然而传统的图论数学不能很好地描述这些网络。图论中的点和线和现实网络的相似程度只是跟记分牌和棒球比赛的相似程度差不多。记分牌的确记录了所有的队员和他们的位置，但是你看了记分牌也无法想象棒球比赛到底是什么样子。图论也是如此。标准的图论数学通过随机相连的节点描述固定的网络，然而在现实世界中，网络通常在发展，增加新部分和新连接，也可能失去一些部分或连接——这并不总是随机的。在随机网络中，每个节点都是对等的，很少有节点拥有比平均数量更多或更少的连接。但是在很多现实世界网络中，有些节点拥有异常多的连线数量（例如在性伴侣的网络中，有些人有着比平均数更多的“连线”——一个对理解艾滋病病毒传播很重要的论点）。而且现实网络形成聚合，例如好朋友之间的小圈子。
爱迪斯和瑞尼很清楚他们的点和线不能把握现实世界网络的复杂事物。但作为数学家，他们不关心现实——他们开发数学模型以助于理解随机连接的数学性质。描述随机连接在数学上是可行的，但无法用此来描述现实世界中所有的复杂事物。没人知道如何着手去那样做。
但是一篇发表在英国期刊《自然》上的论文开始改变了这种情况。回顾一下，网络的狂热可以追溯到1998年6月4日，邓肯·瓦茨和史蒂夫·斯托加茨发表了一篇名为《“小世界”网络的集体动力学》的简短文章（在《自然》期刊上仅仅占了两页半）。
第三节 网络狂热
几年之后，当我在一次计算复杂性会议上遇到斯托加茨时，我问他为什么网络成为了20世纪90年代后期最热门的数学话题。“我想最早是因为我们的论文，”他说，“如果你问我这到底是什么时候开始的，我想是从1998年我们那篇研究小世界网络问题的论文出现在《自然》期刊上时开始的。”
我又试探着问了斯托加茨那篇论文的由来。那其实是一个厚积薄发推动科学进步的实例。
“瓦茨和我大约在1995年开始了我们的研究，那时我们很关注凯文·培根的事情，我们也听说过六度分离，那部电影正是出自那剧本。”斯托加茨说，“当时那个正流行。”
当然，凯文·培根并不是完全靠他自己使科学发生了变革。由于万维网的出现，公众知道了因特网，培根的游戏正是这时变得出名。
“我认为是万维网让我们去思考网络。”斯托加茨说。万维网不仅是一种巨型而精细的网络的典型代表，它也使得很多其他的网络变得可以被研究。网络爬虫程序和搜索引擎使得测定万维网自身的各种联系成为可能，当然万维网也使得为其他大型网络编制目录并存储以方便访问成为可能（电影演员的数据库是一个最好的例子）。相似地，线虫体内代谢反应和果蝇基因交互作用的数据也可以被收集和传送。
“大型数据库出现之后，研究者们就开始利用它们，”斯托加茨评论道，“人们开始把事物当作网络来考虑。”他说在那之前甚至很多真实的网络都不被当成网络来看待——电力网络被认为是电路栅格，你也可能听过电话“系统”这种说法用来指电话网络。“我们觉得它们不那么像网络，”斯托加茨说，“我不认为在一个个连接间移动会让我们产生身处于网络的感觉。”
有了万维网情况就不一样了。你几乎不可能把万维网当作一个整体来考虑。你得一个一个链接去浏览。万维网涉及了科学的所有领域，将有各种网络观念的专家联系在一起。“在很多不同的学科中，”斯托加茨评论道，“我们称之为网络思维的那种思维开始生根。”
尽管如此，网络数学的革命直到1998年瓦茨和斯托加茨的论文出现之后才开始。他们说明了如何建立一种“小世界”网络的模型，在那种模型里平均只需很少几步就可以从网络中的一个节点到另外任何一个节点。他们的模型引起了人们的惊奇并引发了媒体铺天盖地的报道和之后的网络狂热。但斯托加茨认为某些惊奇是源于将他们的模型误读为网络数学的振兴。例如有些专家会说瓦茨和斯托加茨论文的主要影响是在于识别出了某些特殊真实世界网络所具有的小世界性质。其他人提出连接的“聚合”（少数节点组具有比随机数量更多的连接数）是他们的主要发现。“对我来说这是一种对我们论文重要性的误读，”斯托加茨说，“我认为它流行起来的原因是我们首次比较了不同领域的网络而且发现存在着跨领域的相似属性。”
换句话说，虽然网络种类多样，但它们的很多共同特征可以用一种精确的数学方法来描述。这些共同的特征使得人们希望网络数学不只是对一种又一种网络进行冗繁的连接整理工作。相反的，它使人们看到网络存在着一般规律，可以帮助人们精确预测不同种类网络如何发展、进化和运转——例如细胞中蛋白质组成的化学网络，例如大脑中神经元构成的神经网络，或者例如电影中的演员和经济学中股票交易商形成的社会网络。
第四节 小世界
不同网络的一种基本共同特征是它们中的很多都呈现出了小世界性质。例如当一个网络的节点是人时，小世界就是这种网络的规则。因此找到主宰小世界网络的规则可能是预测社会未来的关键。
瓦茨和斯托加茨通过集中研究介于完全规则网络和完全随机网络之间的中间型网络揭示了某些网络的小世界性质。在规则网络（通常叫做规则点阵）中，节点仅仅和它们直接相邻的节点连接。举个最简单的例子，考虑排成圆周的一系列节点。这些圆点所代表的节点通过代表圆周的线和它们两侧紧挨的节点联系在一起。
规则网络
对一个更精细（但依然规则）的网络，你可以把相隔一个节点的两个节点也连接起来。每个节点就和4个其他节点相连了——两侧各两个邻近节点。
在随机网络中，则是另一种情况，有些节点可能和其他很多节点连接，有些节点则可能只和一个点连接。有些节点可能只和邻近的节点相连；有些可能和圆周另一侧的节点相连；有些可能既和邻近节点又和远处节点相连。这种网络可能看起来很混乱。这就是随机的意思。
在随机网络中，由于随机的长距离连接形成了横跨圆周的连接，通常很容易就可以找到从一个节点到任一个节点相对较短的路径。可是在规则网络中通行就没那么容易。要从圆周的一侧到另外一侧，必须通过邻近的点环绕很长的路径。
随机网络
但是瓦茨和斯托加茨设想，在“中间”网络——既不是完全规则也不是完全随机的网络中会发生什么情况呢？换句话说，假设你在规则网络上随机添加几条连线。事实证明即使只是增加很少比例的连接也会带来和远处节点之间的捷径，这种新的中间网络就形成了小世界（就是说，你可以在很少几步之内到达网络的任一点）。但是这种中间网络保持了规则网络的一个重要特征——它的邻近节点仍然有着比平均数更多的连接（就是说，它们存在着“聚合”），而不是像随机网络，其中几乎不会出现聚合现象。
在数学上能描绘出兼具随机和规则网络性质的图是件不错的事，即便它并不显得那么重要。但是你只需很少捷径就可以使网络成为小世界的事实说明小世界网络可能是自然界的共性。瓦茨和斯托加茨在3个真实的事例中测试了这种可能性：和凯文·培根共戏的电影演员网络、美国西部的电网和微小的线虫的神经细胞网络。在所有这3个例子中，正如假想的介于规则网络和随机网络中间的网络模型一样，这些网络都呈现出了小世界性质。
因此，瓦茨和斯托加茨推断，“小世界现象不只是社会网络的特例或是人造的理想模型——它可能普遍存在于自然界中的各种大型、稀疏网络中。”
中间（小世界）网络
如果是这样的话（事实也的确如此），瓦茨和斯托加茨开辟了一处新领域供数学家和物理学家来探索，在那里所有的重要网络都可以用一套共通的工具来分析。和统计物理学家分析无序气体分子复杂性的方法一样，数学家可以用类似的数学来计算一�