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变换是一个δ函数，而且反之亦然！只要人们要测量粒子的位置，位置空间的描述是有用的。这种测量归结于做一些事情，将不同可能的粒子位置的效应放大到经典的水平。（粗略地讲，光电管和照像底版进行了光子位置的测量。）动量空间的描述对测量粒子的动量有用，这种测量就是将不同的可能的动量的效应放大到经典的水平（反冲效应或晶体的衍射可用于动量测量。）在每种情形下，相应的波函数（ψ和～）的平方模给出了所要测量结果的所要的概率。 y图6。12位置空间中的δ函数变换成动量空间中的螺旋，反之亦然。
在本节结束之前我们再一次回到双缝实验。我们已经知道，按照量子力学，甚至一个单独的粒子都应像波动一样行为。这个波动为波函数ψ所描述。动量态是最“类似波动”的波。我们在双缝实验中摹想具有确定频率的光子；这样光子的波函数是由在不同方向的动量态组成。这些态中的螺旋的螺矩都是相同的，这螺矩又称作波长。（波长由频率所固定。）
每个光子波函数一开始从源s散开来并且通过两个缝隙（在缝隙上不做任何检测）而到屏幕上去。只有波函数的一小部分从这缝隙出来。我们将每一条缝隙当作从该处分别散开来的波函数的新源。这两部分波函数互相干涉。这样，当它们到达屏幕时，在有些地方互相叠加，在另外一些地方互相抵消。为了找到它们在何处叠加和何处对消，我们在屏幕上取点p并考察其到两条缝隙t和b的直线、沿着tp有一个螺旋，沿着bp另有一个螺旋。（我们沿着st和sb也有螺旋，但是假定光源到每一条缝隙的距离相同，则在缝隙处两个螺旋刚好旋转了一样多。）现在，当这些螺旋到达屏幕的p点处旋转了多少得由直线tp和bp的长度决定。当这些长度的差为波长的整数倍时， 则两个螺旋在p点就从它们的轴向同一方向位移 （亦即θ=0°，这儿的θ的意思和上节一样），这样相应的幅度就互相叠加，我们得到一个亮点。当这些长度的差为波长的整数倍加上半波长时，则两个螺旋在p点从它们的轴向相反方向位移（θ=180°），这样相应的幅度就互相抵消，我们得到一个暗点。在所有其他情形下，这两个螺旋到达p时位移间有某一角度，这样幅度就以某种中间的方式相加，我们得到中等的光强（见图6。13）。
图6。13按照光子动量态的螺旋的描述来分析双缝实验。不确定性原理大多数读者都听说过海森堡的不确定性原理。根据这一原理，不可能同时将一个粒子的位置和动量精确地测量（亦即放大到经典的水平）。更糟糕的是，这些精度，譬如分别为△x和△p的乘积有一绝对极限，它由下面的关系式给出△ △ ≥ x p h这一公式告诉我们，位置x测量得越准确，则动量p的测量就越不准确，反之亦然。如果位置被测量到无限精确，则动量就变得完全不确定；另一方面，如果动量被精确地测量，则粒子的位置就变得完全不确定。为了从海森堡关系给出的极限大小得到一些感性认识，假定将一个电子的位置测量到奈米（10…9米）的精度，那动量会变得这样的不确定，以至于人们不能预料一秒钟之后电子是否比100公里还近！一些描述使人相信，似乎这仅仅是测量过程中固有的粗陋。相应地根据这种观点，在刚才考虑的电子的情形下，为了找到它的位置不可避免地赋予了它这等强度的“随机的反冲”，使得电子以海森堡原理所表明的数量级的巨大的速度冲撞。人们在其他的描述中认为不确定性是粒子自身的一个性质，它的运动有一种固有的随机性，这表明在量子水平上它的行为是内在的不可预见的。还有另一种说法认为，量子粒子是某种不可理喻的东西，对此经典位置和动量的概念均不适用。我对这几种看法都不喜欢。
第一种有点误导，第二种肯定是错的，而第三种过于悲观。
波函数的描述究竟告诉了我们什么？首先让我们回忆一下动量态的描述。这是动量被准确指定的情况。ψ曲线为一个螺旋，它离开轴的距离一直是一样的。所以不同位置的幅度都具有相同的平方模。如果要进行位置测量的话，则在任何一点找到该粒子的概率和在任何其他地方一样。粒子的位置是完全不确定的！关于位置态又如何呢？现在ψ曲线是…δ函数，位置被精确地固定在δ函数的尖峰处――其他地方的幅度均为零。在动量空间表像中最容易得到动量幅度。现在ψ曲线为一个螺旋，而不同动量的幅度具有相等的平方模。在测量粒子动量时，其结果会变得完全不确定！考察位置和动量都只被部分地限制的中间情形是有趣的，只要它们和海森堡关系相一致就可以了。图6。14画出了这种情形的ψ曲线和相应的y～曲线（相互的福里哀变换）。我们注意到只在非常小的范围内每一曲线到轴的距离明显地不为零。曲线在远处非常紧密地环抱着轴。这样，不管是在位置空间还是在动量空间中都只有在一个非常有限的区域平方模才有可觉察到的大小。因此，粒子在空间可以相当定域，但有一定的弥散，类似地，动量也是相当确定，粒子以相当确定的速度运动，而可能的粒子位置的弥散不随时间增加太大。这样的粒子态被称作波包，经常将它作为一个经典粒子的量子论的最好近似。但是动量（或速度）值的弥散表明波包将随时间弥散。原先开始的位置越定域，则弥散开得越快。6。14波包。这些波包在位置空间和动量空间中都是定域的。U 和 R 演化步骤在描述波包的时间发展中隐含着薛定谔方程， 它告诉我们波函数在时间中的实际演化。 薛定谔方程实际上是说， 如果我们将ψ分解成动量态 （ “纯粹乐音”），那么每一个单独的分量将以问题中具有此动量的经典粒子速度去除c2而得到的速度离开。薛定谔数学方程在实质上是以更加紧凑的形式写下这些。下面我们再看它的精确形式。它有点像哈密顿或马克斯韦方程（和两者有紧密关系）。和那些方程一样，一旦波函数在某一时刻定好，则给出它的完全确定的演化！（见332页。）我们如果将ψ当作“世界实在”的描述，只要ψ是由决定性的薛定谔演化所制约，就根本不存在被认为是量子力学固有的特征的不决定性。让我们将这种演化过程称为U。然而，只要我们“进行一次测量”，将量子效应放大到经典水平，我们就改变了规则。现在我们不用U，而是用完全不同的我称作R 的步骤，取量子幅度的平方模以得到经典概率4！正是步骤R 也只有 R 在量子理论中引进了不确定性和概率。决定性的过程U 似乎是作量子理论工作的物理学家关心的主要部分；而哲学家则对非决定性的态矢量减缩 R（或者，正如有时形象化描述的：波函数的坍缩） 更感兴趣。 我们是否简单地将R 认为是关于一个系统的 “知识”的改变，还是认为（正如我认为）是“真正地”发生了什么。我们的确得到了物理系统的态矢量随时间变化的两种完全不同的数学方式。U 是完全决定性的，而R 是概率定律；U 保持量子复叠加原则，但是R 显著地违反之；U 的作用是连续的，而R 公然是不连续的。按照量子力学的标准过程，不存在以任何方式将R“归结”为U 的复杂的情况的含义。它干脆是和U 不同的过程，提供了量子力学的另一“半”的解释。所有的非决定性都是从R而不是从U 来的。为了使量子理论和已有的观测事实美妙地协调，U 和R 两者都是需要的。
让我们回到波函数ψ上来。假定它为一个动量态。只要此粒子不和任何东西相互作用， 它就会在其余的时间里快乐地维持在那个动量态上。 （这是薛定谔方程告知我们的。）无论我们什么时候去“测量其动量”都会得到同一确定的答案。此处不存在概率。和经典理论一样，可预言性在这里是非常清楚的。然而，假定在某一个阶段我们胆敢去测量（也就是放大到经典水平）粒子位置，这回我们就得到了一系列的概率幅度，我们必须将它们平方求模。那时候有许许多多的概率。完全无法肯定测量会产生什么结果。其不确定性和海森堡原理相一致。另一方面，让我们假定ψ从一个位置态开始（或几乎为一个位置态）。
现在，薛定谔方程告诉我们，ψ不再停留在位置态上，它会很快地弥散开来。尽管如此，其弥散的方式完全由此方程所固定的。它的行为没有任何不确定性或随机性。原则上存在去检查此事实的实验。 （下面还要讲到）。但是，如果我们不明智地决定去测量动量，就会发现所有可能的不同的动量值的幅度平方模相等。实验的结果则是完全的不确定性，这又和海森堡原则相一致，而概率是由幅度的平方模给定。
这无疑是非常奇怪和神秘的。但是它不是不可理喻的世界图像。关于这个由许多非常清楚和准确的定律制约的图像还有许多可说的。然而，关于何时应该祈求随机性的规则R去取代宿命论的U尚没有清楚的规则。 “进行一次测量” 是什么含义？为何 （何时） 对幅度平方取模使之 “成为概率”？“经典水平”能被量子力学地理解吗？这些都是在本章后头要讨论的深刻的令人困惑的问题。粒子同时在两处？我在上面的描述中采取了也许比通常的量子物理学家们更“现实”的关于波函数的观点。我采取了单独粒子的“客观实在”的状态的确是由它的波函数所描述的观点。似乎许多人发现这个观点很难以严肃的方式予以坚持。之所以这样的一个原因是，它牵涉到我们认为单独粒子在空间中弥散开来，而不总是集中在单独的点上的事实。对于一个动量态，由于ψ在整个空间范围内平均地分布，这弥散达到了极端。人们不认为粒子本身发散到空间中去，而宁愿认为位�