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（1）
在没有实际意义的数学假设下，这样的函数将永远成立。
这样一来，U（f）促进了或产生了预期的排列标准，而且，如果愿意的话，可以称作预期的 “ 效用函数 ” ，或称作预期的一个 “ 效用函数 ” （从某些方面来看这样较好一些）。现在我们可以说该个人做出如此选择的目的在于使其 “ 效用 ” 最大化。
按照这一理论，在各种可得情况间所作的选择仅取决于这些情况在排列中所处的地位。如果存在着与观测到的选择情况相一致的任一函数U，那么，给出同样的预期排列的其它函数将与这些观测到的选择情况同等地一致。从而，我们同样可以说：
各预期情况的效用由函数族 V＇U（f）＇…… （ 2） 中的任一函数所给出。
这里，V是一个完全任意的、严格遵守 — 一对应原则的函数，特别地，它是一个能够保证 dV/dU＞0的任一函数（以便使该函数族中的所有函数都能从同一方向上对这些预期加以排列）。
这是鲍莫尔理论之合理性的核心所在。（2）中没有一个函数比任何其它函数享有更多的权利，从而可以被称作 “ 该 ” 效用函数。从这个意义上讲，不论我们所考虑的某一预期或某一预期种类的准确含义是什么，效用都不是 “ 可测的 ” 。
这一关于选择的 “ 一般性 ” 理论几乎完全是空洞的。它并不完全空洞的原因在于它要求具有一致性与传递性，或比这稍多一些，由于行为是可想象的，从而可能与这些要求相抵触。但是，它是如此地趋近于空洞以致于在预测行为方面相当无用。一 “ 特殊的 ” 理论存在于对 V＇U（f）＇的特性，或同样地，对各预期进行等级排列所作的更为准确的限定之中。让我们的讨论仅限于这些可以被视为基本目标的概率组合的预期上面。而且，为了简便起见，将这些基本目标视为每单位时间的收入数量。这样一来，一种预期将被看作是一系列司选择的收入，及每一种收入将得到实现的概率。我们所讨论的这一“ 特殊 ” 理论是：存在着一收入函数，如 C（I），从而该函数的预期值将按照性质（1）而给出一种各种预期情况的等级排列，即它的预期值是函数（2）中的一个函数。让我们把这个函数叫作队那么，这一特殊理论就是：
（3）
这一等式满足于（1）。
这里，
C上面的一横表示预期值，且I的下标f表示这一预期值是针对预期f而计算的。
如果存在着任何这样的函数C（I），那么它将是单值的（原点及坐标单位除外）；即对于包含着一种以上可能收入（概率不为零）的各种预期来说，唯一能取得同样的等级排列的C的转换将具有下述形式：
D＇C（I）＇＝ S＋tC（I） （4）
这以s为任意值，t＞0。
这一理论绝不是空洞的；的确，如果它是合理的，那么，我们对个人在某些预期（每一种预期仅包含一种或两种可能的收入）间所进行的选择的了解，将使得我们得以对他在其它的预期间所进行的选择作出预期 —— 而不论这种预期是多么地困难。
如果这一理论是合理的 —— 也就是说，如果它对行为的预测是正确的 —— 那么，则存在着一个单位函数（原点及坐标单位除外）。这一函数包含了与预测行为有关的全部资料。使用这一函数的方法就是对考虑之下的各种选择的预期函数值加以计算，并作出预测：具有最高预期值的这种可能情况将被选中。习惯上（但仅仅是习惯上），人们将这一过程描述为预期效用的最大化。如果这一假说是合理的，那么， C（I）的预期值将是由V＇U（f）＇所定义的函数族中的一个函数。然而，它仅是被公认的一个函数。任何其它的函数都可以加以使用：C（I）的预期值的3次方，或5次方都将给出与该预期值本身同样的预期排列，而且，这二者中的任一个都可以被称作存在风险的各种预期的效用。
在我们主要解决这一特殊理论与观察到的行为之一致性的文章里，同其他写这篇文章的作者一样，我们将（4）中给出的函数族D＇C（I）＇称作 “ 确定性收入的效用函数 ” 。然而，如果将（ 2）中的任一函数（如 而不是 （或其线性转换形式）视为给出了不确定性预期的效用的话，那么则不应该把C（I）视为确定性收入I的效用；确定性收入I的效用应是 V［C（I）。所以，我们所用的名词容易引起误解，因为人们对我们所用的专有名词的解释说明并不比我们所给出的多。而且，毫无疑问，我们所用的这些专有名词促进了函数D「C（I）」与各种预期的效用函数V［U（f）］之间的混淆。这一混淆在鲍莫尔的评论中表现得十分明显。他说：“ 如果我们接受这样一种观点 —— 即任一经某一合理的指数的单调变换而得到的指数仍然是合理的 —— 的话，那么，在前一部分末尾所提到的那些弗里德曼 …萨维奇结论（这部分结论所涉及的是收入边际效用曲线的形状）将失去它们全部的意义。” 然而，事实是这样的：鲍莫尔所提到的这些结论与函数 D＇C（I）＇
相关；当把它们解释为涉及D＇C（I）＇这些函数时，它们保持了它们全部的意义；对于这一理论的内容来说，这些结论是至关重要的；但是，当然，除 所给出的函数以外，这些结论与函数族V＇U（f）＇的任何函数之间没有直接联系。
那么，将由 所给出的V＇U（f）＇的特定函数称作存在风险的各种预期的效用，从而说效用是 “ 可测的 ” ，而不是将全部的函数族 V＇U（f）＇称作这类预期的效用，从而说效用是“ 序数的 ” 及不 “ 可测的 ” ，这其中的理由是什么呢？这就是：如果该假说得到认可的活，那么，前一种提法远比后一种提法要方便得多。简便易行可能看起来算不上一个充分的证据，然而，事实上，这是一种极为重要的证明。如鲍莫尔所正确论述的： “ 从某种意义上说，任何测量尺度都是任意的。所以，除了繁琐不便以外，还需要距离（以公制尺度的平方表示的，且不断变化的 …… ）测量的方法上存在的什么错误来作为证据吗？ ” 除了繁琐不原以外不存在任何错误之处；但是，繁琐不便这一缺点并不是轻而易举地就可以予以克服的。除了 “ 繁琐不便 ” 以外，在使用罗马数字而不是阿拉伯数字上还需要有什么错误之处吗？或在完全放弃数值术语而代之以即席的累言赘语上还需要有什么错误之处吗？当然，因不使用公制尺度所带来的不便在程度上并不能与因在科学中完全不使后数字所带来的不便相比，但是，这只是因为长度的计量尺度不过是科学中许多种计量尺度中的一种，而不是由于二者在性质上的差异。而且，即便如此，生活在一个以长度（按序数衡量的）的平方为 “ 长度 ” 的正式计量尺度的国家中的每一个人，都将实际地遭受极大的不便，这是因为，象 与
这样的计算每天将不得不多次进行。所有的这些平方与平方根的计算，都将是从自然中所发现的那些实证规则的一种无意义的、复杂的应用（唯一并不充分的补偿是在解决直角三角形问题时所带来的某些便利）。
如果预期效用假说得到认可的话，那么，说 “ 效用 ” 是 “ 可测的 ” ，且 就是它的“ 计量尺度 ” 将具有理论依据，这一理论依据与我们说长度与气温是 “ 可测量的 ” 所拥有的理论依据完全相同，而且， “ 可测量的 ” 一词在这 3种情况中的含义完全相同。鲍莫尔与他拥有同样观点的人曾认真地提出过现在应对这一词重新定义，以便完全不适用于这3种情况吗？
目前，由采用将 称作效用的计量尺度这一惯例而带来的 “ 简便易行 ” ，还远不如将长度的序数性质称作长度的计量尺度所带来的 “ 简便易行 ” 更为一目了然或更为伟大。这部分地因为使得这一效用惯例简便易行的这一假说尚未完全成立，部分地因为关于这一假说的大部分讨论还处于高度抽象的水平，而在这一水平上还不存在因使用范围广泛的函数体系（而不是范围狭小的函数体系）而带来的极大不便。当（且如果）该假说在避免遭到实践的否定方面所取得的多次成功增强了人们对其合理性的信心，当（且如果）该假说被充分地具体化从而可应用于具体情况之中，那么，简便可行这一论据将远比现在要有力得多。而且，如果这一假说因另一假说被发现为 “ 更好 ” （因为后者同样地富有成果且遭到实践否定的次数较少）而应当被拒绝的话，那么，简便易行可能会导致人们对一截然不同的效用 “ 计量尺度 ” （或可能取代织的什么新定义）的接受。对于实证经济学来说，重要的问题正在于为这一、另一或补充性的假说带来这样的发展；促进关于经济行为的假说的构造，这些假说将使我们得以从其它行为的观测中作出对某些行为的预测。在这一工作中，通过某些具有特定的性质且属于某一种类的函数来对这样的假说加以描述，通常是简便易行的。 “ 可测性 ” 在这里涉及的是这一类函数范围之狭小世。一方面这只是对预测的一系列原则加以叙述。加以描绘的一种简便易行的方法，另一方面它又是一种意义重大的简便。而且，不应该要求经济学仅因为别人可能假定（貌似强大而实际毫无道理）这样的阐述所涉及的是 “ 现实性 ” 问题，而放弃这种方法的使用。同其他科学家一样，经济学家可以而且应该认识到他们的工具之于他们的科学状况的相对性。
对于目前的目的来说，欧文 · 费雪及拉格纳 · 弗里希为衡量鲍莫尔所提出的效用而作的