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概念内涵互相否定）。具有同一关系的两个概念（例如在同一圆中，直径和
最大的弦），在论证过程中可以互相代替；两个概念如有从属关系，比如代
数式与有理式，那么它们的外延和内涵有交叉关系；而一个方程组是否有解，
就要看方程的解集是否有交叉关系，根据有理数和无理数为并列关系，可以
认识它们之间的共性和个性，等边三角形和不等边三角形，虽然互相对立但
有中间概念——等腰三角形，而矛盾着的两个概念在推理中必然是“非此即
彼”，不可能有第三种情况存在。
111．必须在实践中巩固和深化所学的知识
要巩固和深化概念，有效的途径就是数学实践——做练习题。主要应从
三个方面做题来巩固和深化概念。
1。易混易错概念的鉴别练习。
例1：方程x2＋y2…1＝0 能否确定y 是x 的既奇又偶的函数？
看到这个问题，许多同学会认为这是一个单位圆，y 轴是对称轴，原点
是对称中心，所以认为能够确定，其实这是错误的。错误在于模糊了函数及
其奇偶性的概念，要知道函数为单值映射，而这里的映射非单位，所以既不
成为函数，更说不上奇偶性了。
在解答定性选择题时，许多考生表现出对相似概念的鉴别能力差。例如
容易混淆“包含”与“属于”、幂函数与指数函数、绝对值与模等，这就要
求我们在复习中用实例去区分，用实例去鉴别，在实践中去体会，在应用中
去巩固。
2、灵活地掌握数学概念。
例：若两条直线k1∶y=k1x＋b1，L2∶y=k2x＋b2 的斜率k1，k2 都存在，则
此两条直线垂直的充要条件是
k = …
1
1 k
2
显然这个命题要求两直线的斜率存在，即直线倾角为90°时，此结论忌
用，但是做如下变化，就全面了。即：则L1∶A1x＋B1y＋L1=0，L2∶A2x＋B2y＋L2=0
则L1⊥L2 的充要条件是A1A2＋B1B2=0
特别要强调的是，在复习中，有必要进行变化数学概念的复习，从而掌
握实质性的东西。
3、加强直接运用数学概念解题的能力。
这要求考生对概念的适用性、规定性有所了解。
另外，在复习时，对数学概念的认识不能仅仅停留在它的外表，而应真
正深入到它的内部，去把握它的本质东西。
例：求以（1，2）为顶点，原点为焦点的抛物线方程。
如右图所示，此题若考虑用转轴和移轴来求抛物线方程是不能奏效的，
但若想到抛物线约定义：“平面内与一定点F 和一条定直线的距离相等的点
的轨迹叫抛物线”，就不难得出结论。
例： 年高考试题，如果× ≤
π
1989 1 1 求函数f（x） = Cosx＋Sinx的最小
4
值。
本题考生一般能化成f（x） = 的形式并写出答案：
5
4
Sinx …
1
2
？？（ ）2
当Sinx=…1 时，f（x）最小值为…1，其实这是错的，因为它没有考虑到题目的
条
件｜ ｜≤
π
x 。
4
由上面的例题可知，概念、定义在解题过程中起到判定作用。这里，笔
者想为大家介绍一个简捷的方法。在考试中常出现这样的题型：有两个式子
A、B，问两者是什么条件？通常，一般的考生是硬推去做，这样很费时间，
也容易出错。若是用定义域求解，即如果A 的定义域包含B 的定义域则为充
要条件，反之为必要条件：若A 与B 的定义域相同则为充要条件，若定义域
不同则什么也不是。读者感兴趣，不妨一试。
希望大家在实践中不断巩固和深化知识。
112．数学的基本功训练亟待加强
在数学复习中，许多考生身上都或多或少地存在这样的倾向：即注重解
题技巧的复习而轻视对基本功的训练。这种倾向造成严重的后果，据对1984
年到1989 年考分的抽样调查，因运算错误而造成的平均失分率为50％左右。
这就要求考生不能盲目地去攻高难度的题，而要练好基本功。其实，基
本功练好了，高难度的题就不在话下了。在练习中我们要注重抓这样几个环
节：
1、把握易忘、易混淆定理、公式和法则。
例：计算（sin50＋icos50）12
误解：原式= sin60 ＋ icos60 = ， 原因在于忘记了棣密佛定
3
＋
1
2
0 0 i
2
理只有在是复数三角式的情况下才能够用。
2、提高活用定理、公式、法则的能力。
例：求π 的最小值。误解：
∵ ≥ ∴ 的最小值为在这个解的过程中
f（x） =
2
sinx
f f（x） 2
？？？？？
×？？
sin
（ ）
（ ）
sin
sin
x
x
x
x
x
2
0
2
2
2
2
死套基本式，忽视了sinx 的范围为〔0，1〕，此时，不等式没有取得等号的
可能（答案为4）。
3、突破运算能力薄弱的环节。
例： 1989 年高考题， 已知a ＞ o 且α ≠1 试求使方程Loga（xak）
2=loga（x2…a2） 有解的K 的取值范围，考生列成混合组
（x ak） x a
x … ak 》 0
x a 0
（x ak） x a
x a 0
2 2 2
2 2
2 2 2
2 2
？？？？？
？？？
ì
í？？
？？？
？？？？？
？？？
ìí？？
？？
或
同样，由于计算能力不过关而半途而废。
例：1987 年高考题，对于所有x，不等式
x log （
4（a 1）
a
） 2xlog （
2a
a 1
） log
（a 1）
4a
2 0
2 2 2
2
2
？
？
？
？
？
？
恒成立，求α的取值范围。
在高考中，许多考生都归结为不等式组，
a
a 1
0
log
4（a 1）
a
0
（2log
2a
a 1
） 4log
4（a 1）
a
log
（a 1）
4a
0
2
2
2
2 2
？
？
？
？
？
？
？？？
？
ì
í
？？？
？
？？？
这个解题过程大繁，不是解不出来，就是中间某一步出现错误。其实，这个
题根本不需要这样解，只要对不等式变个形就会简单多了。
解：变形为：
即：
x
a
a
x
a
a
a
a
x x
a
a
2
2 2 2
2 2
2
8
1
2
2
1
2
2
1
2
0
3 1 1
1
2
0
＇log （ ）＇ log log
＇（ ） ＇ log
？
？
？
？
？
？
？？？？？
？
？
∵对于实数x 恒成立。
∴log → → → 所以的取值范围为
a 1
2a
0
a 1
a
1
a
a
0 0 a 1 a 2
？
？
？
？
？
？？？？？
（0、1），
因此，我们要重视基本功的训练，提高计算能力。
113．怎样才能提高自己的解题能力？
目前高考数学命题的指导思想是要既有利于选拔人材，又要有利于指导
中学教学。命题的原则是：考察基础知识，注重数学思想，培养实际能力，
这就要求在考前多培养解题能力。
1、要掌握数学方法，突出数学现实，优化数学模型。
例1：已知P＝｛（x； y）｝1（k 2 … 1） ＋ 2kx ＋ （k ＋1） 2 = 0，k ？R｝求P的图形。
由题中条件可知P 为直线（k2…1）y＋2kx＋（k…1）2＝0①上的点，若按R 取不
同的值来研究直线之外的点是不能奏效的，但要是把①视为k 的一元二次方
程，优化其数学模型，则求P的图形成为求①关于K无实根时X、y的范围。
解略。
例2：求证：对称轴互相垂直的二抛物线的四个交点共圆。
在处理曲线的交点时，基本方法是“设”和“解”。“设”而且“解”
最繁，“设而不解”或“解而不设”较简，“不设不解”最简，是繁是简取
决于数学模型，本题宜用其交点的曲线系方程f1＋=λf20 这个模型，可以不
设不解。
证明：抛物线y2±2px＋s=0①与抛物线
x2±2py＋t=0②的对称轴垂直。
①＋②得：
x2＋y2±2px±2py＋t=0 这正是圆的方程所以交点共圆。
2、培养发散性思维和逆向思维的能力。
例1：直线L 与抛物线y2=2px 和y2=2p（x…y）分别交于A1，B1 和A2、B2
（如下图），求证1A1A21=1B1B21，
要证明这个题，用发散性思维，至少有四种方案。
（1）用普通方程求交点、距离。
（2）用普通方程求中点，证与中点座标相同。
（3）用参数方程求交点，求距离。
（4）证明A1B1 与A2B2 的中点对应同一参数。
通过比较，第四种方案为映射观点，最为简捷。这样运用发散思维，就
可以缩短解题时间，能力也随之提高了。
作一番探索，就会发现：在特殊情况下，抛物线y2…2px 的弦AB 切抛物
线y2=2p（x…y）于点M，则1AMl＝1MB1。
在一般情况下，直接L 与抛物线和y2=2p（x…y1）和y2=2p（x…y2）分别交
于A1、B1 和A2、B2 则：A1A2｜=｜B1B2｜
这个结论如再推广可证出：
1 l
x
a
y
b
1
x
a
y
b
g A B
A B A A B B
2
2
2
2
2
2
2
2 1 1
2 2 1 2 1 2
（ ）直线与椭圆成双曲线和分别交于，
和， 则｜ ｜ ｜ ｜
±？？？±？？
？
（ ）直线与双曲线和它的渐近线分别交于，
及， 则｜ ｜ ｜ ｜
2 L
x
a
y
b
A B
A B A A B B
2
2
2
2 1 1
2 2 1 2 1 2
？？？？1
？
可见，多思考，是提高能力的有效途径。
114．复习与做题的关系怎么才能处理好呢？
数学复习离不开做题，但是不能互相代替。
复习包括知识和思想方法两个方面，既要做到拾遗而不漏，扫清障碍，
又要总结原理，形成系统；而做题的目的是要在应用中加深知识的理解，掌
握解题的方法，提高运用知识的能力，同时也是对复习情况的检查和评估。
在懂得了解题的目的之后，重要的是怎样去解题。在解题时，解题方法
是十分重要的。许多同学在复习中会感到，对某些题，教师一点就破，一讲
就懂，但不点就破不了。问题就在于把学的知识孤立对待，局限于某一个范
围内思考，而不会把知识“膨胀”（一题多想，一题多解）和“收缩”（三
角、代数、几何互相融合）。解题方法墨守常规，知识不能灵活运用，这都
是破不了题的因素。下面具体讲几种解题要注意的地方。
1、解题概念要清楚，对题中所给的条件要理解透彻。
例：设x1，x2 为方程4x2…4kx＋k=0 的二实根，当K 为何值时，x1
2＋x2
2 为
最小值并求其最小值