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�45℃。经典物理的可计算性：我们的立场如何？
我在这一章从头到尾总是同时留心和决定论不同的可计算性的问题。我并且试图指出，在谈论到“自由意志”和精神现象时，可计算性的问题至少和决定论性的问题一样重要。但是，正如我们不得不相信的那样，在经典理论中决定论本身也不是那么清楚的。我们看到了带电粒子，运动的经典洛伦兹方程所引起的一些困扰的问题。 （回忆狄拉克的 “逃逸解”。）
我们还注意到，在广义相对论中存在一些决定论的困难。在这些理论中，只要没有决定论，当然也就不可计算了。然而上面引用的情形中似乎没有一种因为缺乏决定性而和我们有许多直接的哲学方面的关系。在这些现象中还是没给我们的“自由意志”留下余地：在第一种情况，因为点电荷的经典洛伦兹方程（正如狄拉克解决的那样）被认为在提这些问题的水平上在物理上不合理； 第二种情况， 由于经典广义相对论所引起的这些问题 （黑洞等等）的尺度和我们自己大脑的尺度差别太大。
现在，我们在经典理论中关于可计算性的境况如何呢？可以合理地猜测，如果超越了我刚才提出的因果性和决定性的差别的话，则广义相对论中的情形和狭义相对论不会有大的差别。任何在物理系统的未来行为被初始值所决定的地方，用我们在牛顿理论情况下类似的推论，则其未来的行为似应也被那些数据可计算地决定27（除了上面考虑过的，玻―埃勒―里查德遭遇到的波动方程的不可计算性的“不帮忙的”非可计算性的类型――这种情况对于光滑地变化的数据不会发生）。的确，在我迄今讨论过的任何物理理论中，很难看到任何重大的“不可计算”的因素。可以肯定预料到的是，在这许多理论中会发生“混沌的”行为，只要初始数据作非常微小的改变，就会对结果的行为产生巨大的影响。（看来在广义相对论中真是如此，参阅米斯纳1969，别林斯基等1970。）但是，正如我在前面所提到的，很难看出这类不可计算性亦即“不可预言性”对要“驾驭”物理定律的可能的不可计算因素的仪器有何“用处”。如果“大脑”可以任何方式利用不可计算的因素，那么这种因素必须是非经典物理的。我们必须在浏览了量子理论之后，重新回来审查这个问题。质量、物质和实在让我们简略地清查一下经典物理所呈现的世界图像。首先空间――时间，担任着主要任务：提供舞台给所有不同的物理现象。其次是任意不停活动着的物理对象，但这些活动由精密的物理定律所约束。共有两类物理对象：粒子和场。关于粒子，除了各个都有自己的世界线以及具有各自的（静）质量和也许还有电荷等，我们很少提到它们的实际性质或特殊品质。另一方面，场的特性非常明确――服从马克斯韦方程的电磁场，以及服从爱因斯坦方程的引力场。在处理粒子时存在一种互相冲突的情形。如果粒子的质量是如此微小，以至于其对场的影响可以忽略，则可称作检验粒子――而它们对场的响应的运动是毫不含糊的。洛伦兹力定律描述检验粒子对电磁场的响应，而测地线定律描述它们对引力场的响应（如果两种场都存在时，是上述情形的适当的结合）。这些粒子在这里必须被认为是点粒子，也就是具有一维的世界线。然而，当粒子对场（并因而对其他粒子）的效应必须考虑时――亦即，这些粒子成为场的源时――那么该粒子必须认为是在某种程度上在空间中散开的对象。否则在每个粒子的紧邻处的场会变得无穷大。这些散开的源为马克斯韦方程提供了所需要的电荷――电流分布（ρ，j），也为爱因斯坦方程提供了所需要张量能量。除此之外，所有这些粒子和场所处的空间――时间具有直接描绘引力的可变的结构。“舞台”参与到在它上面表演的情节中去！这就是经典物理在有关物理实在的性质方面给我们的教导。很清楚，我们在中学学到了许多，但同时我们又不可过于自得，以为我们一时形成的图像不会被某种以后更深刻的观点所推翻。我们在下一章会看到，甚至相对论所带来的革命性变革在与量子力学相比较时都会显得黯淡无光。但是，我们和经典理论以及它对物质实在的描述方面缘份还未尽。还有件使我们惊奇的事！什么是“物质”？它是实际的物理对象，亦即世界的“东西”由之构成的实体。 它是你、 我以及我们的房子由之所组成的材料。 如何量化物质？初等物理教科书为我们提供了牛顿的清楚的答案。它是一个对象或一群对象的质量，它是所包含的物质的测度。这看来的确是对的――没有任何其他的物理量能在作为总物质的真正量度这一点上和质量认真地作较量。况且它是守恒的：任何系统的质量，也就是物体内容的总量总是保持不变。爱因斯坦著名的狭义相对论中的公式E=mc2还告诉我们质量（m）和能量（E）是可以互换的。例如，一个铀原子会衰变分裂成小块，如果能够使这些小块处于静止，则这些小块的总质量会比原来铀原子的质量小；但是若把每一块的运动的能量――动能（参阅190页 ）――也计算在内，再除以c2（因为E=mc2）以转化为质量值，则我们发现总量实际上是不变的。质量的确是守恒的，但由于部分是由能量组成，它作为实在物质的量度显得不那么清楚了。能量毕竟依赖于物质运动的速度。一列直达列车的运动的能量相当大。但是如果我们刚好坐在此火车上，则按照我们自己的观点火车根本没有运动。（虽然单独粒子的杂乱运动的热能不会），但运动能量会因为适当地选择观点而被“减少到零”。一种称作π0介子的次原子粒子的衰变是一个鲜明的例子， 爱因斯坦的质量――能量关系的效应在这场台达到了极致的程度。它肯定是一种具有定义得很好的（正的）质量的物质粒子。大约10…16秒之后，它几乎总是分解（像上述的铀原子那样，但要更快速得多）成仅仅两个光子（图5。35）。从和π0介子一起处于静止的观察者看来，每个光子携带走一半能量，这的确是π0介子质量的一半。然而这光子“质量”具有一些模糊的性质：它是纯能量。如果我们能在一个光子的方向上快速地运动，我们就能将其质量――能量要减小到什么程度就减小到什么程度――光子的内禀质量（或正如我们很快就要讲到的静质量）实际上为零。所有这一切为质量守恒描绘出一幅协调的图像，但是它和我们过去的不完全一样。在某种意义上，质量仍是“物质的量”的测度，但在观点上有显著的改变：既然质量等效于能量，那么系统的质量，正如能量那样依赖于观察者的运动！图5。35一个有质量的π0介子衰变为两个零质量的光子。从空间――时间图可以看出能量――动量的四矢量是守恒的：按照平行四边形加法定律（阴影所示），π0介子四矢量是两光子四矢量之和。
图5。36能量――动量四矢量值得花时间将我们得到的观点表述得更明白一些。取代质量作用的守恒量是叫能量――动量四矢量的整体。 在闵可夫斯基空间中可把它画成从原点O出发的一个箭头（矢量），它指向O点未来光锥的内部（或者在光子的极端的情况下，处于光锥之上）；见图5。36。这个和物体世界线指向一致的箭头包含有能量、质量和动量的所有信息。这样，此箭头端点在某观察者座标系中测量的“t…值”（或“高度”）表示观察者看到的，物体的质量（或能量除以c2），而动量（除以c）由其空间分量所提供。这个箭头的闵可夫斯基“长度”是称为静质量的重要的量。它描述和此物体同处静止的观察者所看到的质量，人们也许会采取将此当作“物体的量”的好的量度的观点。然而，它没有可加性：如果一个系统分裂成两半，则原先的静止量并不是结果的两个静质量的和。回想一下π0介子衰变对于看到这两个事件同时发生的观察者而言，它即是通常的距离（参见后面）。的情形。π0介子具有正的静质量，而分裂成的每个光子的静质量为零。但是，可加性对于整个矢量，（四矢量）的确成立，我们现在必须在画在图5。36中的矢量加法定律的意义上进行“相加”。现在我们“物质的量”正是用整个箭头来测量！让我们现在考虑马克斯韦电磁场。我们知道它携带能量。按照E=mc2，它还应该有质量。这样，马克斯韦场又是物质！由于马克斯韦场非常密切地参与到将粒子捆绑在一起的力中，所以这一点我们肯定必须接受。在任何物体中的电磁场一定对其质量有重要的贡献28。关于爱因斯坦引力场又如何呢？在许多方面它和马克斯韦场很类似。
和在马克斯韦理论中的运动带电体会发射电磁波相似，运动的大质量物体（按照爱因斯坦理论）也会发射出引力波（参看242页）――它正如电磁波一样以光速传播并携带能量。然而，此能量不是以标准的方式测量的，它是前面讲到的张量能量。在（纯粹）引力波中，此张量实际上处处为零！尽管如此，人们可采用如下观点，空间――时间的曲率（现在全部由张量魏尔给出）多多少少能代表引力波中的“东西”。但是引力能是非定域的，也就是说，人们不能靠考察一个有限区域的空间――时间曲率来决定能量的度量。引力场的能量――并因此质量――的确是非常滑的鳝鱼，我们无法将其钉死在任何清楚的位置上。尽管如此，我们必须严肃认真地对付。
它肯定在那里，必须把它考虑在内才能使质量的概念在大范围内守恒。已找到一个可用于引力波的好的（并且是正的）质量测度（邦迪1960，萨克斯1962），但它的非定域性变成这种样子，在两次辐射爆之间的空间――时间的平坦区域中（和飓风�