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�1960，萨克斯1962），但它的非定域性变成这种样子，在两次辐射爆之间的空间――时间的平坦区域中（和飓风眼中的静区很类似）此测度有时为非零，在该处其实完全没有曲率（参阅彭罗斯和林得勒1986，427页）（亦即魏尔和里奇均为零）！在这种情形下，我们看来不得不做出结论，如果此质量――能量必须存在某处的话， 则应该处于这个平坦的空的空间中――一个完全没有任何种类的物质和场的区域。在这些古怪的情形下，我们“物质的量”或者在那里，在此空的区域中的最空虚之处，或者根本那里也不在！
这看来纯粹是佯谬。然而，它正是我们最好的经典理论――它们也的确是超等的理论――所告诉我们关于世界的“实”物质的性质。按照经典理论，且不必说我们即将探索的量子理论，物质实体比人们所设想的更模糊得多。它的测量――甚至它是否存在――很清楚地依赖于一些微妙的症结，并且不能仅仅定域地确证！如果这种非定域性都使人迷惑不解的话，我们还要准备迎接更大打击的来临。注 释1。一个显著的事实是，所有确立的和牛顿图像的偏差都以某种基本的方式和光的行为相关。首先，存在马克斯韦理论中的脱离物体的携带能量的场。其次，正如我们就要看到的，光速在爱因斯坦狭义相对论中起着关键的作用。第三，只有当运动速度和光速可相比较时，爱因斯坦广义相对论和牛顿引力论的微小偏离才变得显著。 （太阳引起的光偏折，水星运动，在黑洞中和光相比较的逃逸速度等等。）第四，首先是在光的行为中观察到量子力学中存在的波粒二象性。最后，还有量子电动力学，它是带电粒子的量子场论。可以合情理地猜测，牛顿本人已经准备接受他的图像的躲藏在光的神秘行为后面的深刻问题。参阅牛顿（1730）；还可参阅彭罗斯（1987a）。2。有一个美妙的、很成功的物理理解的实体――亦即卡诺、马克斯韦、开尔芬、玻尔兹曼等等的热力学――我在分类时忽略了它。这可能引起某些读者的困惑，但我是故意这么做的。因为某种在第七章会变得更清楚的原因，我本人非常犹豫是否将其归于超等理论的范畴中。然而，许多物理学家也许会认为把这么漂亮的根本的观念放到低到仅仅有用的范畴是亵渎神物！依我看来，热力学按通常的理解是某种仅适合于平均的东西，而不适合于系统中的每一个别部分――部分的原因是由于它为其他理论的推论――在我这里的意义上不是一个完整的物理理论（这同时适用于作为其数学基础的统计力学的数学框架）。我以此事实作为借口以回避这一问题，把它们一块放到分类之外，正如我们在第七章将会看到的，我宣布在热力学和在前面已经提到的属于有用的范畴的大爆炸标准宇宙模型之间存在一种紧密的联系。我相信，在这两组观念之间（现在还缺一部分）的某种联合，在必需的意义上，甚至会被认为属于超等的范畴的物理理论。
这是我还要在后面论述的内容。
3。我的同事们问我应将“扭量理论”归于何类。这是一种观念和技巧的精心集合，我自己曾为此花费了许许多多的心血。就扭量理论作为物理世界的一个不同理论而言，它只能被收到尝试的范畴中。
4。然而，伽利略经常用水钟来为其观察定时，见巴博（1989）。
5。用牛顿的名字来命名这个模型――的确就“牛顿”力学总体而言――仅仅是一个方便的标志。牛顿自身对于物理世界的实际性质的观点似乎不像这么独断，而是更微妙，更难以捉摸。（最有力地促进这一“牛顿”
模型的人要算R。C玻斯科维奇1711―1787）。
6。拉飞逸？索金曾向我指出，存在一种意义，在这种意义上，可用一种和对（譬如讲）牛顿系统所用的相似的方式来“计算”此一特殊的玩具模型。我们可摹想一个计算序列C1，C2，C3…，这些步骤允许将系统的行为计算到越来越后而没有时间的极限，并且不断增加精确性（参阅198、199页）。在现在情况下，为了达到这个目的，我们可允许将图灵机动作Tu（m）进行N步定义为CN，如果这一动作那时还不停止则“认为”Tu（m）=□。然而，在Tu（m）=□的地方，由引进牵涉到诸如“对所有的qT（q）
停止” 的双重量化的陈述的演化， 不难修正我们的玩具以战胜这类 “计算”。
（存在无限多对相差为2的质数的未解决问题即为这样的陈述的一个例子。）
7。正如第四章（169页注9）提示的，新的柏龙――沙柏――斯马勒（1989）理论可提供一种在数学上更能接受的方法来解决其中的一些问题。8。伟大的意大利/法国数学家约瑟夫？L？拉格朗日（1736―1813）大约比哈密顿早24年左右就知道了哈密顿方程。他虽然和哈密顿观点不一样。 更早时期的一个同等重要的发展是力学的欧拉―拉格朗日方程的表达形式。这样牛顿定律可认为是从一个更高的原则，即最小作用量原理（P。L。M德毛帕裘斯）推导而来。除了其伟大的理论意义之外，欧拉――拉格朗日方程还提供了具有显著威力和实用价值的计算步骤。9． 刘维尔相空间体积只是整族具有不同维数的在哈密顿演化下保持不变的“体积”（称作彭加莱不变量）之一。但是，我的这个断言如此之囊括无遗实在有些过分，我们可以想象一个系统，将其中我们不感兴趣的一些自由度（对某些相空间体积有贡献）“倾倒”到某处去（诸如逃到无穷处的辐射），这样我们感兴趣的部分的相空间就会减小。
10。这第二个事实尤其是科学的极大的幸运。因为没有它的话，巨大物体的动力行为就不可理解，而大物体行为几乎不能给精确适用于粒子本身的定律提供任何暗示。我猜想，牛顿之所以那么强调他的第三定律的原因在于，如果没有它，则从微观到宏观的动力行为的传递就不成立。另一个对于科学发展生死攸关的“奇迹般的”事实是，反平方律是仅有使围绕着中心物体的一般轨道具有简单的几何形状的方次律（随距离而减小）。 如果定律或力是倒数律的或反三方律的， 开普勒还会有何成就呢？
11。我已为各种场选好了单位， 以使和马克斯韦的密先的方程的形式相接近（除了他的电荷在我处为c…2ρ以外）。当用其他的单位制时，因子c的分布将会不同。
12。事实上，我们具有无限多的 Xi和Pi更复杂之处在于，我们不能只用这些场的值作为座标，必须引进某种马克斯韦场的“势”才能纳入到哈密顿理论的框架中去。
13。也就是说，不过两次可微的。
14。洛伦兹方程告诉我们， 由电荷所处的地方的电磁场引起了作用于它上面的力；如果它的质量又是已知的，牛顿第二定律就告诉我们该粒子的加速度。然而，带电粒子经常以近于光速的速度运动，狭义相对论的效应变得很重要，影响了实际上应取的粒子质量数值（见下一节）。正是这种原因使作用在带电粒子上的正确的力定律推迟到狭义相对论的诞生才被发现15。事实上，自然界中的任何量子粒子，在某种意义上，整个自身都像一台这样的钟。正如第六章要讲到的，任何量子粒子都和一个振动相关系，其频率与质量成比例；见265页。现代最精确的钟表（原子钟、核子钟）归根到底是依赖于这个效应。
16。也许读者会忧虑，由于旅行者世界线在B处出现了一个“角”，正如图示的，他在事件B处遭受到无限大的加速度。可以用有限的加速度将他的世界线在B处的尖角弄圆滑，这只不过把他所经历的由整个世界线的闵可夫斯基“长度”所测量的总时间稍微改变一点。17。这些就是M依照爱因斯坦的同时性定义，由从M发出并被问题中的事件反射回到M的光讯号判断的事件空间。例如，见林德勒（1982）。18。这是该形状的初始的对时间的二阶微分（或“加速度”）。形状的改变率（或“速度”）在初始时为零，因为球面在开始时刻是静止的。19。杰出的法国数学家埃利？卡当（1923）首先对牛顿理论的数学形式重新进行表述――这当然是在爱因斯坦的广义相对论之后。20。在这种意义上的局部的欧几里德性的弯曲空间称作以伟大的贝纳德？黎曼（1826――1866）命名的黎曼流形。他在高斯的某些更早的有关的两维情形的工作之后，首先研究这类空间。我们在此需对黎曼观念作重大的修正，也即允许几何为局部闵可夫斯基的，而不是欧几里德的。通常将这种空间称为洛伦兹流形 （属于所谓的伪黎曼或更不逻辑点的半黎曼流形的一类）。21。或许读者会忧虑，零值何以代表“长度”的最大值！事实上的确是如此，只不过在空洞的意义上而言：零长的测地线的特征是，没有任何其他的粒子的世界线可将其上面的任何一对点（局部地）连接。
22。畸变效应和体积改变的分解事实上不像我所表达的那么明确。 里奇张量本身会引起一定量的潮汐畸变。（对于光线而言，这种分解是完全明确的；参阅彭罗斯和林德勒（1986），
第七章）例如可参阅该书第240和210页关于魏尔和里奇张量的精确定义。（德国出生的赫曼？魏尔是本世纪一位杰出的数学人物；意大利的格里高里？里奇是一位有巨大影响的几何学家，他在上世纪奠定了张量理论。）
23。大卫？希尔伯特在1915年11月发现了实际方程的正确形式，但该理论的物理观念则完全归功于爱因斯坦。24。对于通晓这些东西的读者而言， 这些微分方程正是用爱因斯坦方程代入到完整的比安基等式而得到的。25。存在某些（虽然不是非常令人满意的）方法可绕过这个论证，参阅惠勒和费因曼（1945）26。因为它不是二维的，而是三维的， 所以�